编著：曹陵
（本书由香港天马图书有限公司出版）

中国高次幻方发明历史一览表

次数	幻方阶数	发明者	地 址	发明时间
1	三阶一次幻方	河图洛书	中国	4000年前
2	八阶平方平方 九阶平方幻方	舒文中	广西	1975
2		刘志雄	辽宁	1990
2		丁宗智	江苏	1989
2	十六阶平方幻方	孙 友 俞润汝	西安上海	1991
2	18阶完美平方幻方（广义）	苏茂挺	福建	2002
2	35阶平方幻方	李 文	四川	2003
积和	8阶双重幻方	梁培基	河南	1989
积和	9阶双重幻方	孙 友	西安	1991
积和	32阶双重幻方	王前卫	陕西	2000
积和	128阶双重幻方	鲁思顺	山东	1999
积和	144阶双重幻方	孙 友	西安	1991
2次与积	128阶平方双重幻方	郭先强	江苏	1999
3	64阶三次幻方	施学良	贵州	1993
3	64阶三次幻方	王忠汉	安徽	1999
3	81阶三次幻方	施学良	贵州	1993
3	81阶三次幻方	李 文	四川	2003
3	32阶三次幻方	苏茂挺（福建）  施学良（贵 州）  钱剑平（江苏）		1993
3	32阶三次幻方	俞润汝 刘 霞	上海 安徽	1997
3	12阶三次幻方	高治源&潘凤雏	延安 西藏	2002
3	接近的16阶三次幻方	王忠汉	安徽	2000
3	16阶三次广义幻方	郭先强 李 文 苏茂挺		2002年3月
4	256阶四次幻方	吴硕辛&高治源	北京 延安	2002年3月
4	243阶四次幻方	潘凤雏	西藏	2004年2月
5	1024阶5次幻方	吴硕辛 郭先强 潘凤雏 李文		1992－2003
5	729阶5次幻方	李文 郭先强	四川 江苏	2003年5月
5	36阶5次广义幻方	郭先强	江苏	2002年6月
6	4096阶六次幻方	潘凤雏	西藏	2003年6月
7	65536阶七次幻方	潘凤雏	西藏	2003年7月
8	再高的高次幻方均有理论的研究结果，吴硕辛的mi(q)语言， 郭先强的矩阵理论，潘凤雏的幻群映射理论 ，李文的高次幻方公式，都可构造高次幻方。

后 记

    首先要向幻方前辈王忠汉老先生表示诚挚的谢意！从整稿修订到出版成书都是王老先生不辞辛劳，全力支撑。衷心感谢幻方同仁给我的多方帮助和教诲。

    从上个世纪九十年代起，随着改革开放的深入，政治环境逐步宽松民主，人民生活走向富裕小康，幻方——这一古老数学游戏有了突飞猛进的发展！随着社会大众对数字智能的重视，对文化娱乐的追求，将会有越来越多的人群加入幻方爱好者的队伍，涌现更多的幻方高手向世界高峰冲击，创造前所未有的好成绩！

    ⒈是普及游戏的大众白话，还是攀登高峰的阳春白雪？这永远是放在中国幻方研究者面前的两难问题！《幻方再论》作为一本论述幻方的中等教材，夹在两者的中间。与以往众多的幻方普及读物不同，《幻方再论》以下简称《再论》，不再按照阶数划分，而是主要依照幻方制作方法来分类叙述。

    ⒉《再论》没有再标榜自己浅显、少儿化，而是按幻方论述的需要应用了取整、同余及求和等运算，并引入向量、矩阵或数论等现代数学概念，希望大家能够接受。《再论》力图建立每一种幻方制作法的通项公式，及相应的定理体系。不厌其烦地给每一个成功操作以数学论证与计算，使之符号化、规范化、系统化。

    ⒊幻方理论博大精深，诸多数学工具在其中都有应用！“马步”将运动带入方阵，引出许多新的运算形式。幻方其内容之多，涉及之广，操作与算法之独特！依我远远看去，幻方不再满足为《组合数学》的一个分支，好象也能够独立成“学”了？它是（二维）平面上的数论。

    ⒋这是一本中等教材，在娱乐游戏的同时，或能增长您的数学知识和思维能力。笔者力图以严谨的数学体系和别有特色的计算方法，来阐述幻方的内涵与本质；这一古老游戏的制作与结构，使之理论化、系统化、科学化，迅速登上台阶进入华丽宏伟的数学殿堂。这也是国内外广大幻方研究者的终极目标！

    ⒌《再论》第一次给幻方制作以数学形式，对我是一个尝试，一个磨练，肯定有许多需要修正和扩充的地方，诚恳希望幻方专家与高手给予批评和指教。《再论》也有抛砖引玉的企图，期望幻方大家将其高深、精妙的理论公诸于社会。

    本书适合具有中等数学能力的读者作为入门读物，把计算和复杂的推理搁置在一旁，只看叙述也能快速掌握幻方制作知识，领悟其中奥秘与乐趣！也适宜给各阶层爱好者来赏析消遣，让生活再增添一分文彩和情趣。科技平民化，大众知识化！这是现代社会努力的两端，似矛盾又统一？“傻瓜电脑”和五彩缤纷的光碟游戏就是前者的成功典范！而后者是最终的目的。只有人民大众普遍拥有知识与正确思维，才能创造一个物质丰富、精神高尚的现代社会，才能享有充分的民主和自由，让每一个人生都有快乐的色彩，作出有意义的创造。

曹陵 於 湖北孝感

2003年6月22日

羊　年　致　辞

    2002年是万马奔腾、成果迭出的一年，有六件大事值得庆贺，留下文字永久记忆。

    其一。我们发现了《魔环》，它是一门新的学科、是组合数学的又一分支。魔环问世将会引起深远的社会影响。发现它的是三位普通的数学工作者：昆明理工大学杨高石教授、孝感工业学校曹陵老师与我。我编写并出版了《有趣的魔环》与《幼儿启蒙探讨》两书，这就为推动魔环游戏的广泛开展准备了最佳环境。

    其二。小“神童”杨弋、他是随我第一位学会《幻方》的小朋友、现在安师大附中一年级10班。他是2002年芜湖市小学升初中的“状元”，并在这年11月的第八届全国计算机分区联赛普及组中，以满分的成绩获全国一等奖。

    其三、安师大幼儿园大2班的寇明阳登上了魔环舞台，他的加减乘除运算己经过关，是第一位研究《魔环》的小朋友。我们的王绎皓，中4班，与之伴读，我正在为他俩做进一步培育、加工。兼有《魔环》与《幻方》的寇明阳将可望创下更加出色的成绩。寇明阳的出现，使我得出了一个大胆的判断：在幼儿园阶段，完成加减乘除综合运算的训练是完全可能的。我又让王绎皓努力及实验，如果在一年半的时间内她能完成这套训练，那就意味着，我们的这一套开发智力方案具有普遍的意义。

    其四。安徽师范大学教育技术系2000级杨富宝同学的出现，他编写电脑程序，促成了《100万之内素数表》的问世，为素数幻方的研究提供了良好条件。

    其五、睢宁蔡宜文先生登台是一颗耀眼的幻方新星，他在马年的2月15日到12月6日，连过十一关，以惊人的速度创下了一大批新的连续素数幻方记录，这就是11阶，16、20、24、28、30、32。36、38、42各阶及54阶连续素数幻方。

    其六、孝感工业学校曹陵于2002年5月4日，撰写了当阶数n为素数时，对角线上五次与四次等幂和数组同生共存的理论探讨；并于12月8日给出了47阶以下的全部素数阶高优幻方，完成了素数高优的实践。时不几天，曹陵寄来了16、20阶高优与19阶极优幻方，12月23日他制作出25、49阶高优幻方，我看作 (2m+1)2阶家族派来的代表，使特优完美幻方的内容更加充实。马年的六大盛事，其乐融融！

    将有两本新书在羊年亮相。一本是《素数幻方》，由天门张道鑫先生编写。张道鑫是长期从事行政、技术管理的农机工作者，他为素数研究给出了一整套绝妙的设计，其《素数幻方》是一只会下“金蛋”的鸡，第一批“金蛋”就是蔡宜文先生的一大批连续素数幻方，相形益彰，这使《素数幻方》一书大放异彩。

    另一本是曹陵编撰的《幻方再论》。曹陵先生，祖籍湖北应山，生于南京，长在溧水，现任孝感工业学校教师。他在特优完美幻方的理论与实践上都取得重要突破。其《幻方再论》是幻方制作的一套系统理论总结，将对幻方研究产生深远的影响。

    马年为我们推动《魔环》与《幻方》知识的普及提供了绝好的条件，这两本新书的发行，将有助于形成一个更加可喜的局面：羊年吉祥，喜气洋洋。

　　　　　　　　　　中国幻方协会秘书长　　王　　忠　　汉

　　　　　　　　　　马年除夕 书於安徽师范大学凤凰山麓

目　　　　录

基 础　论　述 （1-4讲、5讲、6讲）

第　一　讲　幻方制作中的走与飞……………………… 1

附 　　录 马步幻方制作的VB程序 ………………… 16

第　二　讲　幻方的拉丁合成法………………………… 17　

第　三　讲　幻方的模块合成法………………………… 34

上：幻方的克罗内克尔乘积…………………… 34

下：单模双倍制作法…………………………… 42

第　四　讲　幻方的对调制作法………………………… 55

上：幻方的穿心对调法………………………… 55

下：幻方的块对调法…………………………… 62　

第　五　讲　幻方的数步法制作………………………… 79

轶 篇 散 记 （下载轶篇散记）

第　一　章　数步法与跳格步法的统一…………………106

第　二　章　马步雪花特优幻方的制作…………………113

第　三　章　均匀对称块与斜线平移……………………117

第　四　章　阶和平分与特优对称码的制作……………123

第　五　章　高次特优序码的探讨…………………… 128

第　六　章　用共轭对称法制作高优幻方…………… 136

幻 方 花 絮 （下载幻方花絮）

1. 4M阶高优完美幻方欣赏………………… 149

2. 幻方的制作与进化过程……………………150

3. 趣味盎然的少儿游戏………………………151

4. 致《泰山顶上一青松》—方俊玲女士……153

佳 作 选 录 （下载佳作选录）

1. 13阶4次特优完美幻方……………………157

2. 16阶7次特优完美幻方……………………157

3. 64阶9次特优完美幻方……………………158

4. 65阶9次特优完美幻方……………………166

5．浅谈同心幻方的构造及其规律 ……………174